关于不定积分∫secxdx的几种求解方法

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　　关于不定积分∫secxdx的几种求解方法_数学_自然科学_专业资料。ＶｏＬ ２４Ｎｏ．１ 第２４卷第１期 湖南文理学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＡｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄ

　　ＶｏＬ ２４Ｎｏ．１ 第２４卷第１期 湖南文理学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＡｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ２０１２年０３月 Ｍａｒ．２０１２ ●Ｉ●■■■●■■■■■■■●■■■■■■■■■■●■■■■■■■■■■■●■■■■■■■■■■●■■■■■■●■●■●■■●■■●●●●●■■■■■●●●●■●■■●●●■●■●■■■■●■■■■●●●■■■■●■■■■■■●■■■●■■■■■■■■■●■■■■■■■■■■■■●■■■●●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■●■■■■■■■■■■■■■■－ｄｏｉ：１０．３９６９０．ｉｓｓｎ．１６７２—６１４６．２０１２．０１．００２、关于不定积分ｐｅｃｘ出的几种求解方法（西北农林科技大学理学院，陕西杨凌，７１２１００）摘要：通过给出求不定积分Ｂｅｃｘｄｘ的５种方法，旨在帮助学生理解求函数不定积分过程中换元积分法的本质关键词：正割函数；不定积分；换元积分法 中图分类号：０１３；Ｏ １７２．２文章编号：１６７２－６１４６（２０１２）０１—０００５－０２Ｆｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎＺＨＡＯ Ｊｉ－ｈｏｎｇｆｓｅｃ ｚｄｒ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＡ＆Ｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｇｌｉｎｇ７１２１００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ‘ｗｅｃａｌｌｕｓｅｆｉＶｅ ｍｅｔｈ。ｄｓ ｔ。ｓ。ｌｖｅ ｔｈｅ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｘ．Ｗｅｈｏｐｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈ。ｄｓｈｅｌｐ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｆｏｒ ｔｈｅｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｃａｎｔ ｆｉｍｃｔｉｏｎｓ；ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ求函数的不定积分是数学分析以及高等数学的主要内容之一卜ｚ】．常用的求解方法有换元积分法和分部积分法，其中换元积分法又分为第一类换元积分法（凑微分法）和第二类换元积分法．与分部积分法比较 而言，换元积分法所采用的变量代换的形式千变万化，因此学生在学习这一块内容时普遍感觉换元积分法 要比分部积分法更难理解，更加不好掌握．为了帮助学生锻炼使用换元积分法求解函数不定积分时的观察 能力和凑微分的能力，本文详细给出了求ｓｅｃｘｄｘ的５种方法，希望学生能从这些方法中体会到换元积分法的本质及其巨大功效．例：求不定积分ｆｓｅｃｘｄｘ．方法１肛出＝患ｄｘ＝祭＝避≥＝三『（忐＋志贼ｓｉｎ加三ｍｌ等卜ｏ利用第一类换元积分法【ｌ】。可得：从方法１可以看出，第一类换元积分法的本质是设法将不定积分中的被积表达式凑成容易求得原函数的形 式，然后进行求解（这也是称其为凑微分法的原因）．基于此，我们也可以进行如下的凑微分． 方法２观察．可以进行如下的凑微分【２１：ｆｓｅｃｘｄｘ：ｆｓｅｃｘ（ｓｅｃｘ＋ｔａｎＸ）ｄｘ：ｓｅｃ＂ｘ＋ｓｅ？ｘｔａｎＸｄｘ＝ｆｄ（ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ）．：ｌｎＩｓｅｃｘ＋ｔａｎｘＩ＋Ｃ． ＳＣＣｘ＋ｔａｎｘ ＳＣＣＸ＋ｔａｎｘ ｓｅｅｘ＋ｔａｎｘｏ。ｏ、比较方法ｌ和方法２，所得结果只是在形式上有所不同，利用三角函数恒等式，读者很容易将它们统一起来．收稿日期：２０１１．１１．１７ 基金项目：西北农林科技大学博士科研启动基金（Ｚ１０９０２１１ １８）．作者简介：赵ｆｌ嵫（１９８２一），男，博士，研究方向：偏微分方程和生物数学．Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈａｏｊｉｈｏｎ９２００７＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｅｎ万方数据 ６湖南文理学院学报（自然科学版）竹２０１２啤●方法３注意到￥ｅｃｘ＝ｃｓｃ＠＋兰），我们从求解Ｉｃｓｃ捌ｘ入手．『ｃｓｃ地＝庶出＝矗≯＝皂＝§ｃ争＝譬乩忖ｃ．所以肛出＝Ｊｃｓｃ（Ｈ弘＋尹ｎ卜噎＋补ｃ．方法３本质上和方法１是一致的，但是在求解过程中用到了三角函数的恒等变形，而这些变形在求解 三角函数的不定积分中有着十分重要的作用和意义，合理的变形会大大的简化被积函数的表达式，从而使 得求积分的过程变得简单，起到事半功倍的作用．１一ｔａｎ２委，．，，方法４利用万能公式ｃｏ跋２ｉ——专如，令“＝ｔａｎ言，从而ｘ＝２ａｒｃｔａｎ”及出２ｉ≥妇?所求积分为：ｔｌ＋ａｎ‘～一…’Ｉｓｅｃ础＝毫出＝栏争＝倦击虻冉材＝畦＋击肛ｌｎｌｌ＋“ｌ＋１１１ｆ１一“Ｉ＋ｃ＝ｌＩｌｆｌ＿Ｕ２Ｉ＋ｃ＝ｌＩｌｌｌ一ｔａＩｌ２引＋ｃ．．利用万能公式来求三角函数的不定积分是一种十分行之有效的方法，利用它常常可以将所求不定积分 约化为有理函数的不定积分，从而可以利用有理函数的不定积分理论进行求解（公式法）．方法５首先注意到ｌｓｅｃｘ血＝Ｉ—Ｌｄｘ，为了消去分母上的ＣＯＳＸ，我们做变量代换“＝ＣＯＳＸ，从而ｘ＝ ＣＯＳ工ａｒｃｃｏｓｕ及出＝一丽圭≯妇．于是Ｊｓｅｃ础２『－去出＝一』＿丽告尹材＝一丢咖（“２）．其次，为了消去ｏ ｏ分母上的根号，我们再做变量变换ｖ：√ｊｉ７，从而甜２：１－－Ｖ２１５［ｄ（ｕ２）：一２ｖｄｖ．所以『ｓｅｃ础＝冉Ｖ＝兰Ｊ（击＋击灿＝三ｃ砖叩州一砖岬叫，＝丢ｋＩ等Ｉ＋ｃ＝吉ｈＩ等卜三ｍＩ糍卜ｊ１ ｈｌ羔ｆ＋Ｃ．相比较而言，方法５远远比方法１来的复杂，而且在求解过程中连续利用了两次变量变换． 综上５种方法，在求解不定积分的题目时，细心的观察能力和凑微分的能力决定了学生们对题目的 把控能力、理解能力和求解能力．当然，在求解一般函数的不定积分时，我们并不能拘泥于使用一种变量替换，有时候需要做好几次换元过程，而且也要同时结合分部积分法来求解一些更复杂函数的不定积分．各 种方法的综合和灵活应用才能使得学生更加深刻理解和掌握不定积分这一高等数学中的主要内容．参考文献： 【ｌ】 【２】 华东师范大学数学系．数学分析（上册）．３版【Ｍ】．：高等教育出版社，２００２；１８４．１８５． 同济大学数学系．高等数学（上册）．６版［Ｍ】：高等教育出版社，２００７：１９９． （责任编校：毅）万方数据 关于不定积分∫secxdx的几种求解方法作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： ， ZHAO Ji-hong 西北农林科技大学理学院,陕西杨凌,712100 湖南文理学院学报（自然科学版） Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science) 2012,24(1)参考文献(2条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 2002 2.同济大学数学系 高等数学 2007本文链接：